题目内容
14．已知函数f（x）的导函数f'（x）满足2f（x）+xf′（x）＞x2（x∈R），则对?x∈R都有（ ）| A． | x2f（x）≥0 | B． | x2f（x）≤0 | C． | x2[f（x）-1]≥0 | D． | x2[f（x）-1]≤0 |
分析 构造函数F（x）=x2f（x），求函数的导数，利用导数研究函数的单调性即可．
解答 解：构造函数F（x）=x2f（x），
则F'（x）=2xf（x）+x2f'（x）=x（2f（x）+xf'（x）），
当x＞0时，F'（x）＞x3＞0，F（x）递增；
当x＜0时，F'（x）＜x3＜0，F（x）递减，
所以F（x）=x2f（x）在x=0时取最小值，
从而F（x）=x2f（x）≥F（0）=0，
故选A．
点评 本题主要考查函数单调性的应用，构造函数，求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．
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