Question

给定椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0），称圆心在原点O，半径为

a2+b2

的圆是椭圆C的“准圆”．若椭圆C的一个焦点为F(

2

，0)，其短轴上的一个端点到F的距离为

3

．
（1）求椭圆C的方程和其“准圆”方程．
（2）点P是椭圆C的“准圆”上的一个动点，过点P作直线l₁，l₂，使得l₁，l₂与椭圆C都只有一个交点．求证：l₁⊥l₂．

Answer 1

分析：（1）欲求椭圆C的方程和其“准圆”方程，只要求出半径

a2+b2

即可，即分别求出椭圆方程中的a，b即得，这由题意不难求得；
（2）先分两种情况讨论：①当l₁，l₂中有一条无斜率时；②．②当l₁，l₂都有斜率时，第一种情形比较简单，对于第二种情形，将与椭圆只有一个公共点的直线为y=t（x-x₀）+y₀，代入椭圆方程，消去去y得到一个关于x的二次方程，根据根的判别式等于0得到一个方程：（3-x₀²）t²+2x₀y₀t+（x₀²-3）=0，而直线l₁，l₂的斜率正好是这个方程的两个根，从而证得l₁⊥l₂．

解答：解：（1）因为c=

2

，a=

3

，所以b=1
所以椭圆的方程为

x2

3

+y2=1，
准圆的方程为x²+y²=4．
（2）①当l₁，l₂中有一条无斜率时，不妨设l₁无斜率，
因为l₁与椭圆只有一个公共点，则其方程为x=

3

或x=-

3

，
当l₁方程为x=

3

时，此时l₁与准圆交于点(

3

，1)(

3

，-1)，
此时经过点(

3

，1)（或

3

，-1)且与椭圆只有一个公共点的直线是y=1（或y=-1），
即l₂为y=1（或y=-1），显然直线l₁，l₂垂直；
同理可证l₁方程为x=-

3

时，直线l₁，l₂垂直．
②当l₁，l₂都有斜率时，设点P（x₀，y₀），其中x₀²+y₀²=4，
设经过点P（x₀，y₀），与椭圆只有一个公共点的直线为y=t（x-x₀）+y₀，
则

y=tx+(y0-tx0) x2 3 +y2=1

，消去y得到x²+3（tx+（y₀-tx₀））²-3=0，
即（1+3t²）x²+6t（y₀-tx₀）x+3（y₀-tx₀）²-3=0，△=[6t（y₀-tx₀）]²-4•（1+3t²）[3（y₀-tx₀）²-3]=0，
经过化简得到：（3-x₀²）t²+2x₀y₀t+1-y₀²=0，因为x₀²+y₀²=4，所以有（3-x₀²）t²+2x₀y₀t+（x₀²-3）=0，
设l₁，l₂的斜率分别为t₁，t₂，因为l₁，l₂与椭圆都只有一个公共点，
所以t₁，t₂满足上述方程（3-x₀²）t²+2x₀y₀t+（x₀²-3）=0，
所以t₁•t₂=-1，即l₁，l₂垂直．

点评：本题主要考查了椭圆的标准方程、直线与圆锥曲线的综合问题，突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法，要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高．