Question

给定椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），称圆心在坐标原点O，半径为

a2+b2

的圆是椭圆C的“伴随圆”． 已知椭圆C的两个焦点分别是F1(-

2

，0)、F2(

2

，0)，椭圆C上一动点M₁满足|

M1F1

|+|

M1F

2|=2

3

．
（Ⅰ）求椭圆C及其“伴随圆”的方程
（Ⅱ）试探究y轴上是否存在点P（0，m）（m＜0），使得过点P作直线l与椭圆C只有一个交点，且l截椭圆C的“伴随圆”所得的弦长为2

2

．若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意得：2a=2

3

得a=

3

，半焦距c=

2

，所以椭圆C的方程为

x2

3

+y2=1，“伴随圆”的方程为x²+y²=4．
（Ⅱ）假设y轴上存在点P（0，m）（m＜0），则设过点P且与椭圆有一个交点的直线l为：y=kx+m，则　

y=kx+m x2 3 +y2=1

，整理得（1+3k²）x²+6kmx+（3m²-3）=0，所以△=（6km）²-4（1+3k²）（3m²-3）=0，解3k²+1=m²，由此能够导出y轴上存在点P（0，-2）．

解答：解：（Ⅰ）由题意得：2a=2

3

得a=

3

，半焦距c=

2

（2分）
则b=1椭圆C的方程为

x2

3

+y2=1（3分）
“伴随圆”的方程为x²+y²=4（5分）
（Ⅱ）假设y轴上存在点P（0，m）（m＜0），
则设过点P且与椭圆有一个交点的直线l为：y=kx+m，（1分）
则　

y=kx+m x2 3 +y2=1

整理得（1+3k²）x²+6kmx+（3m²-3）=0（3分）
所以△=（6km）²-4（1+3k²）（3m²-3）=0，解3k²+1=m²①（5分）
又因为直线l截椭圆C的“伴随圆”所得的弦长为2

2

，
则有2

22-( |m| k2+1 )2

=2

2

化简得m²=2（k²+1）②（7分）
联立①②解得，k²=1，m²=4，所以k=±1，m=-2（∵m＜0）
所以y轴上存在点P（0，-2）（9分）

点评：本题考查圆锥曲线的直线 的位置关系和综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．