题目内容

给定椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），称圆心在坐标原点O，半径为
a2+b2
的圆是椭圆C的“伴随圆”． 若椭圆C的一个焦点为F2（
2
，0），其短轴上的一个端点到F2距离为
3
．
（Ⅰ）求椭圆C及其“伴随圆”的方程；
（Ⅱ）若过点P（0，m）（m＜0）的直线l与椭圆C只有一个公共点，且l截椭圆C的“伴随圆”所得的弦长为2
2
，求m的值．
分析：（Ⅰ）直接由椭圆C的一个焦点为F2（
2
，0），其短轴上的一个端点到F2距离为
3
，即可求椭圆C的方程及其“伴随圆”方程；
（Ⅱ）设过点P且与椭圆有一个交点的直线l为：y=kx+m，代入椭圆方程，利用△=0，直线l截椭圆C的“伴随圆”所得的弦长为2
2
，建立方程，即可求得结论．
解答：解：（Ⅰ）由题意得：a=
3
，半焦距c=
2

则b=1，所以椭圆C方程为
x2
3
+y2=1，“伴随圆”方程为x2+y2=4；
（Ⅱ）则设过点P且与椭圆有一个交点的直线l为：y=kx+m（m＜0），
则
y=kx+m
x2
3
+y2=1
，整理得（1+3k2）x2+6kmx+（3m2-3）=0
所以△=（6km）2-4（1+3k2）（3m2-3）=0，解3k2+1=m2①
又因为直线l截椭圆C的“伴随圆”所得的弦长为2
2
，
则有2
22-(
|m|
k2+1
)2
=2
2
化简得m2=2（k2+1）②
联立①②解得，k2=1，m2=4，
所以k=±1，m=±2
因为m＜0，所以m=-2．
点评：本题考查圆锥曲线的直线的位置关系和综合运用，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质和数形结合的数学思想，考查解决问题的能力和运算能力．
练习册系列答案
相关题目
给定椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），称圆心在坐标原点O，半径为
a2+b2
的圆是椭圆C的“伴随圆”． 已知椭圆C的两个焦点分别是F1(-
2
，0)、F2(
2
，0)，椭圆C上一动点M1满足|
M1F1
|+|
M1F
2|=2
3
．
（Ⅰ）求椭圆C及其“伴随圆”的方程
（Ⅱ）试探究y轴上是否存在点P（0，m）（m＜0），使得过点P作直线l与椭圆C只有一个交点，且l截椭圆C的“伴随圆”所得的弦长为2
2
．若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．
给定椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（＞b＞0），将圆心在原点O、半径是
a2+b2
的圆称为椭圆C的“准圆”．已知椭圆C的方程为
x2
3
+y2=1．
（Ⅰ）过椭圆C的“准圆”与y轴正半轴的交点P作直线l1，l2，使得l1，l2与椭圆C都只有一个交点，求l1，l2的方程；
（Ⅱ）若点A是椭圆C的“准圆”与X轴正半轴的交点，B，D是椭圆C上的两相异点，且BD⊥x轴，求
AB
•
AD
的取值范围．
（2013•黄埔区一模）给定椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，称圆心在原点O、半径是
a2+b2
的圆为椭圆C的“准圆”．已知椭圆C的一个焦点为F(
2
，0)，其短轴的一个端点到点F的距离为
3
．
（1）求椭圆C和其“准圆”的方程；
（2）若点A是椭圆C的“准圆”与x轴正半轴的交点，B，D是椭圆C上的两相异点，且BD⊥x轴，求
AB
•
AD
的取值范围；
（3）在椭圆C的“准圆”上任取一点P，过点P作直线l1，l2，使得l1，l2与椭圆C都只有一个交点，试判断l1，l2是否垂直？并说明理由．
给定椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，称圆心在坐标原点O，半径为
a2+b2
的圆是椭圆m的“伴随圆”． 若椭圆C的一个焦点为F2(
2
，0)，其短轴上的一个端点到F2距离为
3
．
（Ⅰ）求椭圆C及其“伴随圆”的方程；
（Ⅱ）若过点P（0，m）（m＜0）的直线l与椭圆C只有一个公共点，且l截椭圆C的“伴随圆”所得的弦长为2
2
，求m的值；
（Ⅲ）过椭圆C“伴椭圆”上一动点Q作直线l1，l2，使得l1，l2与椭圆C都只有一个公共点，试判断直线l1，l2的斜率之积是否为定值，并说明理由．

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