题目内容
给定椭圆C：
+
=1（＞b＞0），将圆心在原点O、半径是
的圆称为椭圆C的“准圆”．已知椭圆C的方程为
+y2=1．
（Ⅰ）过椭圆C的“准圆”与y轴正半轴的交点P作直线l1，l2，使得l1，l2与椭圆C都只有一个交点，求l1，l2的方程；
（Ⅱ）若点A是椭圆C的“准圆”与X轴正半轴的交点，B，D是椭圆C上的两相异点，且BD⊥x轴，求
•
的取值范围．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| a2+b2 |
| x2 |
| 3 |
（Ⅰ）过椭圆C的“准圆”与y轴正半轴的交点P作直线l1，l2，使得l1，l2与椭圆C都只有一个交点，求l1，l2的方程；
（Ⅱ）若点A是椭圆C的“准圆”与X轴正半轴的交点，B，D是椭圆C上的两相异点，且BD⊥x轴，求
| AB |
| AD |
分析：（Ⅰ）由准圆定义求出椭圆C的准圆方程，取x=0得到P点坐标，由题意可知l1，l2的斜率存在，设出过P点的直线方程，和椭圆方程联立后化为关于x的一元二次方程，由判别式等于0求解直线的斜率，则l1，l2的方程可求；
（Ⅱ）由题意可知：B，D点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，设出B，D的坐标，代入椭圆方程后得到B点横纵坐标的关系，写出向量
，
的坐标，代入数量积公式后化为关于B点横坐标的函数关系式，由B点横坐标的范围求解
•
的取值范围．
（Ⅱ）由题意可知：B，D点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，设出B，D的坐标，代入椭圆方程后得到B点横纵坐标的关系，写出向量
| AB |
| AD |
| AB |
| AD |
解答：解：（Ⅰ）由椭圆C的方程为
+y2=1．
得其“准圆”方程为x2+y2=4．
则P点坐标为（0，2），∵直线l过P且与椭圆C只有一个交点，
则直线l的方程可设为y=kx+2，将其代入椭圆方程可得：
x2+3（kx+2）2=3，即（3k2+1）x2+12kx+9=0．
由△=（12k）2-36（3k2+1）=0，解得k=±1，
∴直线l1 的方程为y=x+2，l2 的方程为y=-x+2，
或直线l1 的方程为y=-x+2，l2 的方程为y=x+2；
（Ⅱ）如图，
由题意可设B（m，n），D（m，-n）（-
＜m＜
），
则有
+n2=1，
又点A的坐标为（2，0），故
=(m-2，n)，
=(m-2，-n)．
故
•
=(m-2)2-n2=m2-4m+4-(1-
)
=
m2-4m+3=
(m-
)2．
又-
＜m＜
，
故
(m-
)2∈[0，7+4
)．
∴
•
的取值范围是[0，7+4
）．
| x2 |
| 3 |
得其“准圆”方程为x2+y2=4．
则P点坐标为（0，2），∵直线l过P且与椭圆C只有一个交点，
则直线l的方程可设为y=kx+2，将其代入椭圆方程可得：
x2+3（kx+2）2=3，即（3k2+1）x2+12kx+9=0．
由△=（12k）2-36（3k2+1）=0，解得k=±1，
∴直线l1 的方程为y=x+2，l2 的方程为y=-x+2，
或直线l1 的方程为y=-x+2，l2 的方程为y=x+2；
（Ⅱ）如图，
由题意可设B（m，n），D（m，-n）（-
| 3 |
| 3 |
则有
| m2 |
| 3 |
又点A的坐标为（2，0），故
| AB |
| AD |
故
| AB |
| AD |
| m2 |
| 3 |
=
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 3 |
| 2 |
又-
| 3 |
| 3 |
故
| 4 |
| 3 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
∴
| AB |
| AD |
| 3 |
点评：本题考查了椭圆的简单几何性质，考查了平面向量的数量积运算，考查了直线和圆锥曲线的关系，方法是联立直线和圆锥曲线方程，利用整理后的一元二次方程的判别式求解．
此题属中高档题．
此题属中高档题．
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