Question

13．在△ABC中，若8sin²$\frac{B+C}{2}$-2cos2A=7．
（1）求角A的大小；
（2）如果a=$\sqrt{3}$，b+c=3，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）利用三角形内角和定理及诱导公式可得sin$\frac{B+C}{2}$=cos$\frac{A}{2}$，把8sin²$\frac{B+C}{2}$-2cos2A=7化为$8co{s}^{2}\frac{A}{2}-2cos2A=7$，进一步化为关于cosA的一元二次方程，求得cosA，则角A的大小可求；
（2）由已知结合余弦定理求得bc，然后代入三角形的面积公式可得△ABC的面积．

解答 解：（1）在△ABC中，∵$\frac{B+C}{2}=\frac{π}{2}-\frac{A}{2}$，∴sin$\frac{B+C}{2}$=cos$\frac{A}{2}$，
∴8sin²$\frac{B+C}{2}$-2cos2A=7可化为$8co{s}^{2}\frac{A}{2}-2cos2A=7$，则4cosA+4-2（2cos²A-1）=7，
∴4cos²A-4cosA+1=0，解得cosA=$\frac{1}{2}$，
∵0°＜A＜180°，∴A=60°；
（2）由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²-bc=（b+c）²-3bc，
且a=$\sqrt{3}$，b+c=3，得bc=2，
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}BC•sinA=\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查三角函数中的恒等变换应用，训练了余弦定理在求解三角形中的应用，是中档题．