Question

【题目】已知指数函数满足:，定义域为的函数是奇函数.

(1)求的值；

(2)判断函数的单调性并用定义加以证明；

(3)若对任意的 ，不等式恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1），；（2）见解析；（3）

【解析】

(1)依题意设（或），由可求出值，再根据奇函数的定义可得，，，即可求出；

(2) 按照单调性定义证明的步骤，取值－作差－变形－定号－下结论，即可证出；

(3)根据函数的奇偶性和单调性，即可将转化为，再利用分离参数法将分离，转化去求在上的最小值，即可求出的取值范围．

(1)依题意设（或），由得，，解得，

所以，．

是R上的奇函数，， 即，所以，

又，即，解得，检验符合题意．

，

是R上的减函数．理由如下：

设，则

，，所以，即．

故是R上的减函数．

(3)

，

是R上的奇函数，，

是R上的减函数，，因为，

，对任意的 恒成立，因为当且仅当时却等号，∴．