Question

【题目】在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为，（为参数），直线的参数方程为（为参数，为实数），直线与曲线交于 两点.

（1）若，求的长度；

（2）当面积取得最大值时（为原点），求的值.

Answer 1

【答案】(1)；(2)0.

【解析】试题分析：（1）联立直线的参数方程和曲线，根据弦长公式可求解；（2）点到直线的距离为，则，若要面积取得最大值，则，可求得参数值，进而得到点的坐标.

解析：

（1）由（为参数），

可得曲线的普通方程为.

由直线的参数方程为（为参数），

可知直线的普通方程为.

由得，，.

故，

所以的长度.

（2）由直线的参数方程为（为参数，为实数），

可知直线过定点，

经验证该点在椭圆上，

不妨设为点，则直线的方程为.

设，点到直线的距离为，

则.

若要面积取得最大值，

则，

得，，，.

此时或.

将代入直线的参数方程为，解得.

将代入直线的参数方程为，解得不存在.

所以.