Question

19、已知a∈R，讨论函数f（x）=e^x（x²+ax+a+1）的极值点的个数．

Answer 1

分析：先求出f′（x）=0时得到方程讨论△的取值决定方程解得个数从而得到函数极值的个数．

解答：解：f′（x）=e^x（x²+ax+a+1）+e^x（2x+a）
=e^x[x²+（a+2）x+（2a+1）]，
令f′（x）=0得x²+（a+2）x+（2a+1）=0
（1）当△=（a+2）²-4（2a+1）=a²-4a=a（a-4）＞0．
即a＜0或a＞4时，方程x²+（a+2）x+（2a+1）=0有两个不同的实根x₁，x₂，不妨设x₁＜x₂，
于是f′（x）=e^x（x-x₁）（x-x₂），从而有下表：

即此时f（x）有两个极值点．
（2）当△=0即a=0或a=4时，方程x²+（a+2）x+（2a+1）=0有两个相同的实根x₁=x₂
于是f'（x）=e^x（x-x₁）²故当x＜x₁时，f'（x）＞0；当x＞x₂时，f'（x）＞0，因此f（x）无极值．
（3）当△＜0，即0＜a＜4时，x²+（a+2）x+（2a+1）＞0，f'（x）=e^x[x²+（a+2）x+（2a+1）]＞0，故f（x）为增函数，此时f（x）无极值．因此当a＞4或a＜0时，f（x）有2个极值点，当0≤a≤4时，f（x）无极值点．
综上所述：当a＜0或a＞4时，f（x）有两个极值点．

点评：考查学生利用导数研究函数极值的能力，利用导数研究函数单调性的能力．