Question

已知a∈R，讨论函数f（x）=ln（x-1）-ax的单调性并求相对应的单调区间．

Answer 1

分析：求出函数的定义域及导函数，通过对a的分类讨论判断出导函数的符号，根据导函数的符号与函数单调性的关系写出单调区间．

解答：解：函数f（x）=ln（x-1）-ax的定义域为（1，+∞），
f′（x）=

1

x-1

-a，
（1）当a=0时，f′（x）=

1

x-1

＞0；所以f（x）在（1，+∞）上递增；
（2）当a≠0时，f′（x）=

1

x-1

-a=

-a(x- a+1 a )

x-1

当a＞0时，令f′（x）=0，解得x=

a+1

a

=1+

1

a

＞1
所以函数f（x）在x∈（1，

a+1

a

）时，f′（x）＞0，
函数f（x）在a＞0时，x∈（1，

a+1

a

）时为增函数，单调增区间为（1，

a+1

a

）；
x∈（

a+1

a

，+∞）为减函数，单调减区间为（

a+1

a

，+∞）
当a＜0时，f′（x）=

1

x-1

-a=

-a(x- a+1 a )

x-1

＞0在（1，+∞）上恒成立，
所以f（x）在（1，+∞）上单调递增；
综上，当a＞0时，函数f（x）的单调增区间为（1，

a+1

a

）；单调减区间为（

a+1

a

，+∞）
当a≤0时，f（x）在（1，+∞）上单调递增；

点评：本题考查导函数的符号与函数单调性的关系，含参数的函数解决单调性问题一般需要分类讨论，属于中档题．