Question

已知函数f（x）=（x-1）e^-x，x∈R，其中e是自然对数的底数．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值；
（Ⅱ）若函数y=g（x）对任意x满足g（x）=f（4-x），求证：当x＞2时，f（x）＞g（x）；
（Ⅲ）若x₁≠x₂，且f（x₁）=f（x₂），求证：x₁+x₂＞4．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出其导函数，利用导函数值的正负对应的区间即可求出原函数的单调区间进而求出极值；
（Ⅱ）令F（x）=f（x）-g（x）=（x-1）e^-x-（3-x）e^4-x，求出其导函数利用导函数的值来判断其在（2，+∞）上的单调性，进而证得结论．
（Ⅲ）先由（Ⅰ）得f（x）在（-∞，2）内是增函数，在（2，+∞）内是减函数，故x₁、x₂不可能在同一单调区间内；
设x₁＜2＜x₂，由（Ⅱ）可知f（x₂）＞g（x₂），即f（x₁）＞f（4-x₂）．再结合单调性即可证明结论．

解答：解：（Ⅰ）∵函数f（x）=（x-1）e^-x的定义域为R，
f′（x）=e^-x-（x-1）e^-x=（2-x）e^-x
令f′（x）=0，即（2-x）e^-x=0，解得：x=2．
列表：

x	（-∞，2）	2	（2，+∞）
f′（x）	+	0	-
f（x）	↑	极大值	↓

由表可知函数f（x）=（x-1）e^-x的单调递减区间为（2，+∞），单调递增区间为（-∞，2）．
当x=2时，函数f（x）=（x-1）e^-x取得极大值f（2）=e^-2．
（Ⅱ）证明：g（x）=f（4-x）=（3-x）e^4-x，
令F（x）=f（x）-g（x）=（x-1）e^-x-（3-x）e^4-x，
∴F′（x）=（2-x）e^-x-（2-x）e^4-x=

(2-x)(e4-e2x)

ex+4

．
当x＞2时，2-x＜0，2x＞4，从而e⁴-e^2x＜0，
∴F′（x）＞0，F（x）在（2，+∞）是增函数．
∴F（x）＞F（2）=e^-2-e^-2=0，
故当x＞2时，f（x）＞g（x）．
（Ⅲ）证明：∵f（x）在（-∞，2）内是增函数，在（2，+∞）内是减函数．
∴当x₁≠x₂，且f（x₁）=f（x₂），x₁、x₂不可能在同一单调区间内．
不妨设x₁＜2＜x₂，由（Ⅱ）可知f（x₂）＞g（x₂），
又g（x₂）=f（4-x₂），∴f（x₂）＞f（4-x₂）．
∵f（x₁）=f（x₂），∴f（x₁）＞f（4-x₂）．
∵x₂＞2，4-x₂＜2，x₁＜2，且f（x）在区间（-∞，2）内为增函数，
∴x₁＞4-x₂，即x₁+x₂＞4．

点评：本小题主要考查函数与导数的综合应用能力，具体涉及到用导数来研究函数的单调性、极值，并考查数学证明．利用导数研究函数的单调性，求解函数的单调区间、极值、最值问题，是函数这一章最基本的知识，也是．教学中的重点和难点，学生应熟练掌握．