题目内容

已知数列{a_n}满足a₁=1， $数学公式$ （n∈N^*，n＞1）．
（1）求证：数列 $数学公式$ 是等差数列；
（2）求数列{a_na_n+1}的前n项和S_n；
（3）设f_n（x）=S_nx²ⁿ⁺¹，b_n=f'_n（2），求数列{b_n}的前n项和T_n．

解：（1）证明：当n≥2时，由 $\text{[math]}$ 得：a_n-1-a_n-2a_n-1a_n=0
两边同除以a_na_n-1得： $\text{[math]}$ （2分）
∴ $\text{[math]}$ 是以 $\text{[math]}$ 为首项，d=2为公差的等差数列（4分）
（2）由（1）知： $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ （6分）
∴ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ （8分）
（3） $\text{[math]}$ ，
∴b_n=n•2²ⁿT_n=4+2×4²+3×4³+…+n×4ⁿ
4T_n=4²+2×4³+3×4⁴+…+（n-1）×4ⁿ+n×4ⁿ⁺¹
相减得： $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ （12分）
分析：（1）将已知的等式两边同时乘以a_n（1-a_na_n-1）得到a_n-1-a_n-2a_n-1a_n=0，两边同除以a_na_n-1，利用等差数列的定义得到
证明．
（2）利用数列 $\text{[math]}$ 是等差数列求出 $\text{[math]}$ ，进一步求出{a_na_n+1}的通项，根据其特点，利用裂项求和的方法求出数列{a_na_n+1}的前n项和S_n；
（3）将（2）中的S_n代入f_n（x），利用导数的运算法则求出b_n=f'_n（2），根据其特点是一个等差数列与一个等比数列的乘积，选择错位相减的方法求出数列{b_n}的前n项和T_n．
点评：本题考查求数列的前n项和，应该先求出数列的通项，然后根据通项的特点选择合适的求和方法，属于中档题．