题目内容

如图所示，已知圆C：(x＋1)2＋y2＝8，定点A(1，0)，M为圆上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足AM＝2AP，NP⊥AM，点N的轨迹为曲线E．

(1)求曲线E的方程；

(2)若过定点F(0，2)的直线l交曲线E于不同的两点G、H(点G在点F、H之间)，且满足，求直线l的方程；

(3)设曲线E的左右焦点为F1，F2，过F1的直线交曲线于Q，S两点，过F2的直线交曲线于R，T两点，且QS⊥RT，垂足为W；(ⅰ)设W(x0，y0)，证明：；(ⅱ)求四边形QRST的面积的最小值．

答案：
解析：

　　(1)∵NP为AM的中垂线，

　　∴NA=NM，∴NA+NC=CM=2

　　∴N的轨迹为A，C为焦点的椭圆2a=2，

　　∴，c=1，

　　∴b=1，∴方程为

　　(2)当时，即G为FH中点时，设、

　　∴，

　　代入椭圆得，

　　∴，

　　∴，

　　∴

　　(3)(i)∵，

　　∴W在以为直径的圆上，，

　　∴，

　　∴

　　(ii)设QS的方程为(当存在且不为0时)，

　　代入，

　　∴

　　设，

　　∴，

　　∴，

　　∵，

　　∴，

　　同理，

　　∴≥，

　　当时，取等号，当不存在或时，

　　∵，

　　∴


练习册系列答案
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精英家教网如图所示，已知圆C：（x+1）2+y2=8，定点A（1，0），M为圆C上一动点，点P在线段AM上，点N在线段CM上，且满足
AM
=2
AP
，
NP
•
AM
=0，点N的轨迹为曲线E．
（1）求曲线E的方程；
（2）若过定点F（0，2）的直线交曲线E于不同的两点G、H（点G在点F、H之间），且满足
FG
=λ
FH
，求λ的取值范围．
（理）如图所示，已知圆C：（x+1）2+y2=8，定点A（1，0），M为圆上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足
AM
=2
AP
，
NP
•
AM
=0，点N的轨迹为曲线E．
（1）求曲线E的方程；
（2）过点S（0，
1
3
）且斜率为k的动直线l交曲线E于A、B两点，在y轴上是否存在定点G，满足
GP
=
GA
+
GB
使四边形NAPB为矩形？若存在，求出G的坐标和四边形NAPB面积的最大值；若不存在，说明理由．
精英家教网如图所示，已知圆C：（x+1）2+y2=8，定点A（1，0），M为圆上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足AM=2AP，NP⊥AM，点N的轨迹为曲线E．
（1）求曲线E的方程；
（2）若过定点F（0，2）的直线l交曲线E于不同的两点G、H（点G在点F、H之间），且满足FG=
1
2
FH，求直线l的方程；
（3）设曲线E的左右焦点为F1，F2，过F1的直线交曲线于Q，S两点，过F2的直线交曲线于R，T两点，且QS⊥RT，垂足为W；
（ⅰ）设W（x0，y0），证明：
x
2
0
2
+
y
2
0
＜1；
（ⅱ）求四边形QRST的面积的最小值．
（2006•石景山区一模）如图所示，已知圆C：（x+1）2+y2=8，定点A（1，0），M为圆上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足
AM
=2
AP
，
NP
•
AM
=0，点N的轨迹为曲线E．
（Ⅰ） 求曲线E的方程；
（Ⅱ） 若点B1（x1，y1），B2（-1，y2），B3（x3，y3）在曲线E上，线段B1B3的垂直平分线为直线l，且|B1A|，|B2A|，|B3A|成等差数列，求x1+x3的值，并证明直线l过定点；
（Ⅲ）若过定点F（0，2）的直线交曲线E于不同的两点G、H（点G在点F、H之间），且满足
FG
=λ
FH
，求λ的取值范围．
精英家教网如图所示，已知圆C：（x+1）2+y2=8，定点A（1，0），M为圆上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足
AM
=2
AP
，
NP
•
AM
=0，点N的轨迹方程是（　　）
A、
x2
2
+y2=1
B、
x2
2
-y2=1
C、x2+
y2
2
=1
D、x2-
y2
2
=1

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