题目内容
已知a＞2，求证：log（a-1）a＞loga（a+1）
分析：（法一）利用作差法：只要证明log(a-1)a-loga(a+1)=
-loga(a+1)=
＞0即可
（法二）作商法：只要证明
=
=
＞1即可
| 1 |
| loga(a-1) |
| 1-(loga(a-1))•(loga(a+1)) |
| loga(a-1) |
（法二）作商法：只要证明
| log(a-1)a |
| loga(a+1) |
| ||
| loga(a-1) |
| 1 |
| (loga(a-1))•(loga(a+1)) |
解答：证明（法一）：∵log(a-1)a-loga(a+1)=
-loga(a+1)
=
．
因为a＞2，所以，loga（a-1）＞0，loga（a+1）＞0，
所以，loga（a-1）•loga（a+1）≤[
]2
=
＜
=1
所以，log（a-1）a-loga（a+1）＞0，命题得证．
证明2：因为a＞2，所以，loga（a-1）＞0，loga（a+1）＞0，
所以，
=
=
由法1可知：loga（a-1）•loga（a+1）≤[
]2
=
＜
=1
∴
＞1．
故命题得证
| 1 |
| loga(a-1) |
=
| 1-(loga(a-1))•(loga(a+1)) |
| loga(a-1) |
因为a＞2，所以，loga（a-1）＞0，loga（a+1）＞0，
所以，loga（a-1）•loga（a+1）≤[
| loga(a-1)+loga(a+1) |
| 2 |
=
| [loga(a2-1)]2 |
| 4 |
| [logaa2]2 |
| 4 |
所以，log（a-1）a-loga（a+1）＞0，命题得证．
证明2：因为a＞2，所以，loga（a-1）＞0，loga（a+1）＞0，
所以，
| log(a-1)a |
| loga(a+1) |
| ||
| loga(a-1) |
| 1 |
| (loga(a-1))•(loga(a+1)) |
由法1可知：loga（a-1）•loga（a+1）≤[
| loga(a-1)+loga(a+1) |
| 2 |
=
| [loga(a2-1)]2 |
| 4 |
| [logaa2]2 |
| 4 |
∴
| 1 |
| loga(a-1)•loga(a+1) |
故命题得证
点评：本题主要考查了不等式的证明方法的常用方法：作差证明差大于0，作商证明商大于1．
练习册系列答案
相关题目
已知椭圆C方程为
A．选修4-1：几何证明选讲
（2009•湖北模拟）已知A（-1，0）、B（3，0），M、N是圆O：x2+y2=1上的两个动点，且M、N关于x轴对称，直线AM与BN交于P点．