Question

设z₁是方程x²-6x+25=0的一个根．
（1）求z₁；
（2）设z₂=a+i（其中i为虚数单位，a∈R），若z₂的共轭复数

.

z2

满足|

z

3 1

•

.

z2

|=125

5

，求

z

2 2

．

Answer 1

分析：（1）直接利用实系数一元二次方程的求根公式求解；
（2）由z₂=a+i得其共轭复数，把z₁及

.

z2

代入|

z

3 1

•

.

z2

|=125

5

，整理后求解a的值，代入z₂=a+i后求解

z

2 2

．

解答：解 （1）∵△=6²-4×25=-64，
∴x=

6± 64 i

2

=3±4i，即z₁=3-4i或z₁=3+4i； 
（2）由z₂=a+i，得

.

z2

=a-i．
当z₁=3-4i时，
则|z13•

.

z2

|=|（3-4i）³•（a-i）|=125

5

，得
|（-117-44i）（a-i）|=125

5

，
整理得：125

a2+1

=125

5

，∴a=±2．
当z₁=3+4i时，
则|z13•

.

z2

|=|（3+4i）³•（a-i）|=125

5

，得
|（-117+44i）（a-i）|=125

5

，
整理得：125

a2+1

=125

5

，∴a=±2．
综上：
当a=-2时，

z

2 2

=(-2+i)2=3-4i； 
当a=2时，

z

2 2

=(2+i)2=3+4i．

点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，训练了实系数一元二次方程虚根的求法，考查了复数模的求法，考查了学生的计算能力，是基础题．