Question

已知：x₁，x₂（x₁＜x₂）是方程x²-6x+5=0的两根，且，．n∈N^*．
（1）求y₁，y₂，y₃的值；
（2）设z_n=y_ny_n+1，求证：；
（3）求证：对?n∈[2，+∞）有．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根据方程的根求出，再根据y_n的表达式和x_n+2关于x_n+1表达式，分别取n=1、2、3即可求出；
（2）根据x_n、y_n各项为正的特征，求出z₁=y₁y₂=26，再根据z_n的表达式及不等式的性质可得z_n＞26（n≥2），最后代入，命题得证；
（3）求出，再通过y_n+1关于y_n的表达式，证出，利用数列的递推特性进一步证出|y_n+1-y_n|≤，最后用绝对值不等式的性质将|y_2n-y_n|分解为不小于它本身的和：|y_n+1-y_n|+…+|y_2n-1-y_2n-2|+|y_2n-y_2n-1|的形式，得出等比数列求和表达式，再将所得结果适当放大，使命题得证．
解答：解：（1）解方程x²-6x+5=0 得x₁=1，x₂=5，---------------------------------------------1分
∴，------------------------------------------------------------------------------2分 ，
∴，--------------------------------------------------------------------------3分 ，
∴--------------------------------------------4分
（2）由 得 即⇒y_n+1y_n=5y_n+1----------------------6分
当n≥2 时y_n＞5，于是z₁=y₁y₂=26，z_n=y_ny_n+1=5y_n+1＞26 （n≥2 ）
∴--------------------------------------------------------------------9分
（3）当n≥2 时，有 =----------------------------------------12分
∵|y_2n-y_n|=|y_2n-y_2n-1+y_2n-1-y_2n-2+y_2n-2-…+y_n+1-y_n|
∴|y_2n-y_n|≤|y_n+1-y_n|+…+|y_2n-1-y_2n-2|+|y_2n-y_2n-1|=
∴对?n∈N^* 有 （n∈N^*）----------------------------------------------14分
点评：把握数列的递推关系是解决前两个问题的关键，第三问用到数列递推在不等式中的应用，证明不等式用到绝对值不等式的性质以及不等式放缩的技巧，再与数列的求和相结合，是数列与不等式两个知识点的完美交汇．