Question

已知：x₁，x₂（x₁＜x₂）是方程x²-6x+5=0的两根，且yn=

xn+1

xn

，xn+2=(5+

1

yn

)xn+1．n∈N^*．
（1）求y₁，y₂，y₃的值；
（2）设z_n=y_ny_n+1，求证：

n

i=1

zi≥26n；
（3）求证：对?n∈[2，+∞）有|y2n-yn|＜

1

625

•

1

26n-2

．

Answer 1

分析：（1）先根据方程的根求出y1=

x2

x1

=5，再根据y_n的表达式和x_n+2关于x_n+1表达式，分别取n=1、2、3即可求出；
（2）根据x_n、y_n各项为正的特征，求出z₁=y₁y₂=26，再根据z_n的表达式及不等式的性质可得z_n＞26（n≥2），最后代入

n

i=1

zi，命题得证；
（3）求出|y2-y1|=

1

25

＜

26

625

，再通过y_n+1关于y_n的表达式，证出|yn+1-yn|≤

1

26

|yn-yn-1|，利用数列的递推特性进一步证出|y_n+1-y_n|≤

1

25

•

1

26n-1

，最后用绝对值不等式的性质将|y_2n-y_n|分解为不小于它本身的和：|y_n+1-y_n|+…+|y_2n-1-y_2n-2|+|y_2n-y_2n-1|的形式，得出等比数列求和表达式，再将所得结果适当放大，使命题得证．

解答：解：（1）解方程x²-6x+5=0 得x₁=1，x₂=5，---------------------------------------------1分
∴y1=

x2

x1

=5，------------------------------------------------------------------------------2分 x3=(5+

1

y1

)x2=26，
∴y2=

x3

x2

=

26

5

，--------------------------------------------------------------------------3分 x4=(5+

1

y2

)x3=135，
∴y3=

x4

x3

=

135

26

--------------------------------------------4分
（2）由xn+2=(5+

1

yn

)xn+1 得

xn+2

xn+1

=5+

1

yn

即yn+1=5+

1

yn

?y_n+1y_n=5y_n+1----------------------6分
当n≥2 时y_n＞5，于是z₁=y₁y₂=26，z_n=y_ny_n+1=5y_n+1＞26 （n≥2 ）
∴

n

i=1

zi=z1+z2+…+zn≥26n--------------------------------------------------------------------9分
（3）当n≥2 时，有|yn+1-yn|=|5+

1

yn

-(5+

1

yn-1

)|=|

yn-yn-1

ynyn-1

|≤

1

26

|yn-yn-1| ≤

1

262

|yn-1-yn-2| ≤…≤

1

26n-1

|y2-y1|=

1

25

•

1

26n-1

----------------------------------------12分
∵|y_2n-y_n|=|y_2n-y_2n-1+y_2n-1-y_2n-2+y_2n-2-…+y_n+1-y_n|
∴|y_2n-y_n|≤|y_n+1-y_n|+…+|y_2n-1-y_2n-2|+|y_2n-y_2n-1|≤

1

25

[

1

26n-1

+…+

1

262n-3

+

1

262n-2

]=

1

25

•

1 26n-1 (1- 1 26n )

1- 1 26

＜

26

625

•

1

26n-1

=

1

625

•

1

26n-2

∴对?n∈N^* 有|y2n-yn|＜

1

625

•

1

26n-2

（n∈N^*）----------------------------------------------14分

点评：把握数列的递推关系是解决前两个问题的关键，第三问用到数列递推在不等式中的应用，证明不等式用到绝对值不等式的性质以及不等式放缩的技巧，再与数列的求和相结合，是数列与不等式两个知识点的完美交汇．