题目内容


如图1，在平面内，是的矩形，是正三角形，将沿折起，使如图2，为的中点，设直线过点且垂直于矩形所在平面，点是直线上的一个动点，且与点位于平面的同侧。

（1）求证：平面；
（2）设二面角的平面角为，若，求线段长的取值范围。

（1）连接，，∽，又平面在正中，是的中点，又平面
（2））设建立空间直角坐标系，如图，
则



设平面的一个法向量为

则

设平面的一个法向量为
则

，

化简得
解得因此，

解析

练习册系列答案
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精英家教网如图1，在平面内，ABCD是∠BAD=60°，且AB=a的菱形，ADD′′A1和CD D′C1都是正方形．将两个正方形分别沿AD，CD折起，使D′′与D′重合于点D1．设直线l过点B且垂直于菱形ABCD所在的平面，点E是直线l上的一个动点，且与点D1位于平面ABCD同侧（图2）．
（Ⅰ） 设二面角E-AC-D1的大小为θ，若
π
4
≤θ≤
π
3
，求线段BE长的取值范围；
（Ⅱ）在线段D1E上存在点P，使平面PA1C1∥平面EAC，求
D1P
PE
与BE之间满足的关系式，并证明：当0＜BE＜a时，恒有
D1P
PE
＜1．
如图1，在平面内，ABCD是∠BAD=60°且AB=a的菱形，ADD''A1和CDD'C1都是正方形．将两个正方形分别沿AD，CD折起，使D''与D'重合于点D1．设直线l过点B且垂直于菱形ABCD所在的平面，点E是直线l上的一个动点，且与点D1位于平面ABCD同侧，设BE=t（t＞0）（图2）．
（1）设二面角E-AC-D1的大小为q，若
π
4
≤θ≤
π
3
，求t的取值范围；
（2）在线段D1E上是否存在点P，使平面PA1C1∥平面EAC，若存在，求出P分
D1E
所成的比λ；若不存在，请说明理由．
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如图1，在平面内，ABCD是AB=2，BC=
2
的矩形，△PAB是正三角形，将△PAB沿AB折起，使PC⊥BD，如图2，E为AB的中点，设直线l过点C且垂直于矩形ABCD所在平面，点F是直线l上的一个动点，且与点P位于平面ABCD的同侧．
（1）求证：PE⊥平面ABCD；
（2）设二面角F-PB-D的平面角为θ，若θ≥45°，求线段CF长的取值范围．精英家教网
如图1，在平面内，ABCD边长为2的正方形，ADD″A1和CDD″C1都是正方形．将两个正方形分别沿AD，CD折起，使D″与D′重合于点D1．设直线l过点B且垂直于正方形ABCD所在的平面，点E是直线l上的一个动点，且与点D1位于平面ABCD同侧，设BE=t（t＞0）（图2）．
（1）设二面角E-AC-D1的大小为θ，当t=2时，求θ的余弦值；
（2）当t＞2时在线段D1E上是否存在点P，使平面PA1C1∥平面EAC，若存在，求出P分
D1E
所成的比λ；若不存在，请说明理由．
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如图1，在平面内，ABCD是AB=2，BC=
2
的矩形，△PAB是正三角形，将△PAB沿AB折起，使PC⊥BD，如图2，E为AB的中点，设直线l过点C且垂直于矩形ABCD所在平面，点F是直线l上的一个动点，且与点P位于平面ABCD的同侧．
（1）求证：PE⊥平面ABCD；
（2）设直线PF与平面PAB所成的角为θ，若45°＜θ≤60°，求线段CF长的取值范围．
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