题目内容

如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆 $数学公式$ （a＞b＞0）的右焦点为F，上下顶点分别为A，B，直线BF交椭圆于C点，且 $数学公式$ ．
（1）求椭圆的离心率；
（2）若P点是椭圆上弧AC上动点，四边形APCB面积的最小值为 $数学公式$ ，求椭圆的方程．

解：（1）设点F（c，0），B（0，-b），C（x，y）
由 $\text{[math]}$ =3 $\text{[math]}$ ，得：（c，b）=3（x-c，y）
解得：C（ $\text{[math]}$ c， $\text{[math]}$ ）代入椭圆方程得： $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1，
∴e= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，a²=2c²，b=c；
（2）由（1）椭圆方程可写为 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1，点C（ $\text{[math]}$ b， $\text{[math]}$ ），
直线AC：x+2y-2b=0， $\text{[math]}$ ，AC= $\text{[math]}$ b，
设点P（x，y）：x²+2y²=2b²，点P到直线AC距离为d= $\text{[math]}$ ，
（x+2y）²=x²+4y²+4xy≤x²+4y²+2（x²+y²）=3（x²+2y²）=6b²，
∴d_max= $\text{[math]}$ b，
∴由S_max= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，b²=1，椭圆方程为：x²+2y²=2
注：本题也可以求出平行于直线AC的切线： $\text{[math]}$ ，得到点到直线AC的最大距离 $\text{[math]}$ 解题．
分析：（1）设点F（c，0），B（0，-b），C（x，y）由 $\text{[math]}$ =3 $\text{[math]}$ ，可求得C（ $\text{[math]}$ c， $\text{[math]}$ ）代入椭圆方程得： $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1，从而可求得椭圆的离心率；
（2）设点P（x，y），点P到直线AC距离为d= $\text{[math]}$ ，可求得（x+2y）²=x²+4y²+4xy≤x²+4y²+2（x²+y²）=3（x²+2y²）=6b²，从而可得d_max= $\text{[math]}$ b，由S_max= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，可求得b²=1，从而可求得椭圆方程．
点评：本题考查椭圆的简单性质与标准方程的应用，求得（x+2y）²≤6b²，是关键也是难点，考查综合分析与转化应用的能力，属于难题．