Question

已知函数f（x）=log_a

x+1

x-1

（a＞0且a≠1）
（1）求f（x）的定义域．
（2）判断函数的奇偶性和单调性．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数的定义域及其求法,函数奇偶性的判断

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据对数函数的定义即可求出定义域，
（2）利用函数的奇偶性的定义即可证明，再根据复合函数单调性，再根据a进行分类讨论得到函数的单调性．

解答： 解：（1）∵f（x）=log_a

x+1

x-1

（a＞0且a≠1），
∴

x+1

x-1

＞0，
解得x＞1，或x＜-1，
故函数f（x）的定义域（-∞，-1）∪（1，+∞），
（2）∵f（-x）=log_a

-x+1

-x-1

=-log_a

x+1

x-1

=-f（x），
∴函数为奇函数，
设

x+1

x-1

=u，
则u=1+

2

x-1

，
因为函数u在每一个区间上均为减函数，
当a＞1是，函数y=log_ax为增函数，故函数f（x）为减函数，
当0＜a＜1是，函数y=log_ax为减函数，故函数f（x）为增函数．

点评：本题主要考查了函数的定义域奇偶性单调性，属于基础题