Question

【题目】如图所示，在直角梯形中，，，，，，两点分别在线段，上运动，且.将三角形沿折起，使点到达的位置，且平面平面.

（1）判断直线与平面的位置关系并证明；

（2）证明：的长度最短时，，分别为和的中点；

（3）当的长度最短时，求平面与平面所成角（锐角）的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）与平面平行，证明详见解析；（2）详见解析；（3）.

【解析】

(1)分别在平面D1AE和平面BCE内，作MG//AE,交D1E于点G, NH//BC,交CE于点H,连接GH,则MG//NH.推导出四边形MNHG是平行四边形, 从而MN// GH.由此能求出MN与平面D1 CE平行；

(2) 推导出,从而当时，, 此时M，N分别是A D1和BE的中点；

（3）以E为坐标原点，分别以EA, EC, ED，所在直线为x, y, z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出平面D1MN与平面EMN所成角(锐角)的余弦值.

（1）与平面平行.

证明如下：分别在平面和平面内作交于点，

交于点，

连接,

∵，

∴.

设，

在中，，

则，

∴，

同理可求，

∴，

即四边形是平行四边形.

∴.

∵，，

∴平面.

（2）证明：∵平面平面，，

∴，

在中，，，

∴.

当时，.此时、分别是和的中点.

（2）以为坐标原点，分别以、、所在直线为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

由题意知，，，，，，，.

∴，，

∴，，

设是平面的一个法向量，

由可得.取，可得.

设是平面的一个法向量，

由可得.取，可得.

∴，

∴平面与平面所成角（锐角）的余弦值.