Question

设正项等比数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₃=4，S₂=3．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令bn=(2n-1)an(n∈N*)，求数列{b_n}的前n项和为T_n．

Answer 1

分析：（1）由正项等比数列{a_n}中a₃=4，S₂=3，利用等比数列通项公式和前n项和公式列出方程组求出首项和公比，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由（1）知b_n=（2n-1）a_n=（2n-1）•2^n-1，由此利用错位相减法能求出数列{b_n}的前n项和为T_n．

解答：解：（1）设正项等比数列{a_n}的公比为q（q＞），
∵a₃=4，S₂=3，
∴

a1q2=4 a1+a1q=3

，
解得

q=2 a1=1

，或

q=- 2 3 a1=9

（舍），
∴an=2n-1．
（2）由（1）知b_n=（2n-1）a_n=（2n-1）•2^n-1，
∴T_n=1+3×2+5×2²+7×2³+…+（2n-3）×2^n-2+（2n-1）×2^n-1，①
2T_n=2+3×2²+5×2³+7×2⁴+…+（2n-3）×2^n-1+（2n-1）×2ⁿ，②
错位相减，①-②，得
-T_n=-1+6+2³+2⁴+2⁵+…+2ⁿ-（2n-1）×2ⁿ
=5+

23(1-2n-2)

1-2

-（2n-1）×2ⁿ
=5-8+2ⁿ⁺¹-n×2ⁿ⁺¹+2ⁿ
=-3-（2n-3）•2ⁿ．
∴T_n=3+（2n-3）•2ⁿ．

点评：本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，解题时要认真审题，注意等比数列通项公式、前n项和公式和错位相减法的合理运用．