题目内容
设正项等比数列{an}的首项a1=
,前n项的和为Sn,210S30-(210+1)S20+S10=0.
(Ⅰ)求{an}的通项;
(Ⅱ)求{nSn}的前n项和Tn.
1 | 2 |
(Ⅰ)求{an}的通项;
(Ⅱ)求{nSn}的前n项和Tn.
分析:(Ⅰ)根据等比数列的性质利用条件方程解等比数列的公比,然后求{an}的通项;
(Ⅱ)求出前n项的和为Sn,以及{nSn}的通项公式,然后利用分组求和和错位相减法求Tn.
(Ⅱ)求出前n项的和为Sn,以及{nSn}的通项公式,然后利用分组求和和错位相减法求Tn.
解答:解:(Ⅰ)若q=1时,210•30a1-(210+1)20a1+10a1=0.a1=0与已知矛盾,
∴q≠1,
则由210•S30-(210+1)S20+S10=0
可得210•S30-210•S20=S20-S10,
即210?(S30-S20)=S20-S10,
∴210?(S20-S10)q10=S20-S10,
∵q≠1,
∴S20-S10≠0,
∴210?q10=1,
即q10=
=(
)10,
∴q=±
,
又∵an>0,∴q>0且q≠1
∴q=
,
∴an=
•(
)n-1=(
)n,n≥1.
(Ⅱ)∵an=
•(
)n-1=(
)n,n≥1.
∴Sn=
=1-
,
即nSn=n-
,
∴{nSn}的前n项和Tn=(1+2+…+n)-(
+
+???+
)=
-(
+
+???+
),
Tn=
-(
+
+???+
),
两式相减得
Tn=
-(
+
+???+
-
)=
-(
-
)=
-(1-
-
),
∴Tn=
-2+
-
.
∴q≠1,
则由210•S30-(210+1)S20+S10=0
可得210•S30-210•S20=S20-S10,
即210?(S30-S20)=S20-S10,
∴210?(S20-S10)q10=S20-S10,
∵q≠1,
∴S20-S10≠0,
∴210?q10=1,
即q10=
1 |
210 |
1 |
2 |
∴q=±
1 |
2 |
又∵an>0,∴q>0且q≠1
∴q=
1 |
2 |
∴an=
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
(Ⅱ)∵an=
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
∴Sn=
| ||||
1-
|
1 |
2n |
即nSn=n-
n |
2n |
∴{nSn}的前n项和Tn=(1+2+…+n)-(
1 |
2 |
2 |
22 |
n |
2n |
n(n+1) |
2 |
1 |
2 |
2 |
22 |
n |
2n |
1 |
2 |
n(n+1) |
4 |
1 |
22 |
2 |
23 |
n |
2n+1 |
两式相减得
1 |
2 |
n(n+1) |
4 |
1 |
2 |
1 |
22 |
1 |
2n |
n |
2n+1 |
n(n+1) |
4 |
| ||||
1-
|
n |
2n+1 |
n(n+1) |
4 |
1 |
2n |
n |
2n+1 |
∴Tn=
n(n+1) |
2 |
1 |
2n-1 |
n |
2n |
点评:本题主要考查等比数列的通项公式以及前n项和公式,以及利用错位相减法求数列的和,运算量大,综合性较强,难度较大.

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