Question

设正项等比数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₂=2，a₃a₄a₅=2⁹．
（1）求首项a₁和公比q的值；
（2）试证明数列{log_ma_n}（m＞0且m≠1）为等差数列．

Answer 1

分析：（1）根据等比数列的性质，化简a₃a₄a₅=2⁹，得到a₄的值，然后利用a₄比上a₂，即可列出关于公比q的方程，求出方程的解得到q的值，然后由a₄的值和q的值即可求出首项a₁的值；
（2）把（1）求出的通项公式代入数列{log_ma_n}中，得到b_n的通项公式，表示出b_n+1-b_n的差，利用对数的运算性质化简后，得到其差为常数，从而得到数列{log_ma_n}为等差数列．

解答：解：（1）∵a₃a₄a₅=（a₄）³=2⁹⇒a₄=2³=8（a₄＞0），（3分）
∴

a4

a2

=q2=4⇒q=2，（5分）
又由a₄=a₁q³，即8=a₁•2³，解得a₁=1．（7分）
（2）证明：由（1）知，a_n=2^n-1．（9分）
设b_n=log_ma_n，则b_n=log_m2^n-1=（n-1）log_m2．（12分）
∵b_n+1-b_n=nlog_m2-（n-1）log_m2=log_m2=常数，
∴数列{b_n}为等差数列，即数列{log_ma_n}（m＞0且m≠1）为等差数列．（14分）

点评：此题要求学生掌握等比数列的性质，灵活运用等比数列的通项公式化简求值，掌握等差数列的确定方法．学生做题时注意等比数列{a_n}的各项为正数，熟练运用对数的运算性质．