Question

已知函数.
(I)若,求函数的单调区间；
(Ⅱ)求证:
(Ⅲ)若函数的图象在点处的切线的倾斜角为,对于任意的,函数是的导函数)在区间上总不是单调函数,求的取值范围。

Answer 1

(I)的单调增区间为,减区间为 ；(Ⅱ) 证明详见解析；(Ⅲ)

试题分析：(Ⅰ)先求导数，然后求导数大于或小于零的区间，即得原函数的单调区间；(Ⅱ)由(Ⅰ) 可知 当时,即对一切成立，可得，然后叠乘即可. (Ⅲ)求出，则，求出，，再求出，则，由于:对于任意的,恒成立,，所以，解出m即可.
试题解析：解：(Ⅰ)当时, ，解得；解得[的单调增区间为,减区间为 
(Ⅱ)证明如下: 由(Ⅰ)可知 当时,即,
∴对一切成立 
∵,则有,∴ 
 
(Ⅲ) ∵∴得, ,∴  
∵在区间上总不是单调函数,且∴ 
由题意知:对于任意的,恒成立, 所以,,∴.