题目内容
已知数列{an}满足an+1=2an+2n+2-1，a1=3，（1）求证：数列
为等差数列；（2）求数列{an}的前n项的和Sn；
（3）令
，Tn为数列{bn}的前n项的积，求证：Tn＞
．
【答案】分析：（1）在等式an+1=2an+2n+2-1的两边同除以2n，利用等差数列的定义得到证明；
（2）利用对称数列的通项公式求出
，进一步求出数列{an}的通项公式．由于通项是一个等差数列与一个等比数列的积构成的新数列，利用错位相减法求出数列的前n项和．
（3）这是一个与正整数有关的不等式的证明，可利用数学归纳法进行证明．
解答：解：（1）
，
∴
是公差为2，首项为1的等差数列
（2）由（1）知：
，
∴
令
①
①×2得：
②
②-①得：
=6+（2n-3）•2n+1
∴
（3）∵
∴
，
∵Tn=b1b2b3•…•bn
当n=1时，
不等式成立
假设n=k（k∈N*）不等式
成立，
则当n=k+1时，有
∵
∴
即当n=k+1时不等式也成立．综上，当n∈N*时，原不等式成立．
点评：求数列的前n项和，一般先求出数列的通项，然后选择合适的求和方法．常用的求和方法有：公式法、倒序相加法、错位相减法、裂相消法、分组法．
（2）利用对称数列的通项公式求出
，进一步求出数列{an}的通项公式．由于通项是一个等差数列与一个等比数列的积构成的新数列，利用错位相减法求出数列的前n项和．（3）这是一个与正整数有关的不等式的证明，可利用数学归纳法进行证明．
解答：解：（1）
，∴
是公差为2，首项为1的等差数列（2）由（1）知：
，∴
令
①①×2得：
②②-①得：
=6+（2n-3）•2n+1∴
（3）∵
∴
，∵Tn=b1b2b3•…•bn
当n=1时，
不等式成立假设n=k（k∈N*）不等式
成立，则当n=k+1时，有
∵
∴
即当n=k+1时不等式也成立．综上，当n∈N*时，原不等式成立．点评：求数列的前n项和，一般先求出数列的通项，然后选择合适的求和方法．常用的求和方法有：公式法、倒序相加法、错位相减法、裂相消法、分组法．
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