Question

【题目】已知定点，定直线，动点到点的距离与到直线的距离之比等于.

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）设轨迹与轴负半轴交于点，过点作不与轴重合的直线交轨迹于两点，直线分别交直线于点.试问：在轴上是否存在定点，使得?若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】(1) ；(2)在轴上存在定点或，使得.

【解析】试题分析：

(1)设出点的坐标，结合题意可得动点的轨迹的方程是；

(2)设出直线方程，联立直线与椭圆的方程，讨论可得在轴上存在定点或，使得.

试题解析：

（1）设点，依题意有，化简整理，得，即为动点的轨迹的方程.

（2）根据题意可设直线的方程为，代入，整理得，设，则， .又易知，所以直线的方程为： ,直线的方程为： ，从而得， ，所以 .所以当，即

或时， ，故在轴上存在定点或，使得.