Question

（12分）已知焦点在轴，顶点在原点的抛物线经过点，以抛物线上一点为圆心的圆过定点（0，1），记为圆与轴的两个交点．

（1）求抛物线的方程；

（2）当圆心在抛物线上运动时，试判断是否为一定值？请证明你的结论；

（3）当圆心在抛物线上运动时，记，，求的最大值．

Answer 1

（1）；（2）是定值（3）

【解析】

试题分析：（1）由已知，设抛物线方程为，解得p=1．

所求抛物线的方程为．

（2）法1:设圆心，则圆的半径r=

圆的方程为

令y=0，得，得．

（定值）．

法2:设圆心，因为圆过A（0,1），所以半径r=，

因为 在抛物线上，，且圆被x轴截得的弦长

（定值）

（3）由（2）知，不妨设，

,

,

当a=0时，时， ，

故当且仅当时，取得最大值

考点：本题考查抛物线的性质，最值问题，基本不等式的应用．