Question

设f(x)=ax²+bx+c，当|x|≤1时，总有|f(x)|≤1，求证：|f(2)|≤8。

Answer 1

答案：
解析：

解：∵当|x|≤1时，总有|f(x)|≤1 ∴|f(0)|≤1，即|c|≤1 又2b=f(1)－f(－1) ∴|2b|=|f(1)－f(－1)|≤|f(1)|+|f(－1)|≤2 即|b|≤1。 ∵2a=f(1)+f(－1)－2c ∴|2a|=|f(1)+f(－1)－2c| ≤|f(1)|+|f(－1)|+2|c|≤4 即|a|≤2 ∴|f(2)|=|4a+2b+c| =|(a+b+c)+3a+b| =|f(1)+3a+b| ≤|f(1)|+3|a|+|b| ≤1+6+1=8 即|f(2)|≤8。