Question

已知函数 

（1）求函数f(x)的极值；

（2）如果当时，不等式恒成立，求实数k的取值范围；

（3）求证.

 

Answer 1

【答案】

（1）函数在处取得极大值f（1）=1 ，无极小值。

（2）

（3）见解析

【解析】

试题分析：（1）利用导数的思想，通过导数的符号判定函数的单调性，进而得到极值。

（2）要证明不等式恒成立，移项，右边为零，将左边重新构造新的函数，证明函数的最小值大于零即可。

（3）在第二问的基础上，放缩法得到求和的不等式关系。

解：（1）因为， x >0，则，…………1分

当时，；当时，.

所以在（0，1）上单调递增；在上单调递减，

所以函数在处取得极大值f（1）=1 ，无极小值。…………3分

（2）不等式即为 记

所以…………7分

令，则，      ，    

在上单调递增，   ，从而，

故在上也单调递增，   所以，所以 . ……9分

（3）由（2）知：恒成立，即， 

令，则

所以 ,  ，  ，…   …  

，                                 …………12分

叠加得：

 .

则，所以 …………14分

考点：本题主要考查了导数在研究函数中的运用。

点评：解决该试题的关键是对于导数的符号与函数单调性的熟练的运用，并能结合单调性求解函数的 极值和最值问题。难点是对于递进关系的试题，证明不等式，往往要用到上一问的结论。