题目内容

如图，设P，Q为△ABC内的两点，且
AP
=
2
3
AB
+
1
4
AC
，
AQ
=
3
5
AB
+
1
3
AC
，则△ABP的面积与△ABQ的面积之比为
3
4
3
4
．
分析：如图所示，分别过点P，Q作PD⊥AB，QE⊥AB，垂足分别为D，E．在△APD中，
PD
=
AD
-
AP
，利用向量垂直与数量积的关系可得
PD
•
AB
=0，
把已知代入得到|
AD
|=
2
3
|
AB
|+
1
4
|
AC
|cosA．利用勾股定理可得|
PD
|2=
AP
2-|
AD
|2，于是|
PD
|=
1
4
|
AC
|sinA．同理可得|
QE
|=
1
3
|
AC
|sinA．
由此可得
S△APB
S△AQB
=
|
PD
|
|
QE
|
．
解答：解：如图所示，分别过点P，Q作PD⊥AB，QE⊥AB，垂足分别为D，E．
在△APD中，
PD
=
AD
-
AP
，
∵
PD
⊥
AB
，∴
PD
•
AB
=0，
∴(
AD
-
AP
)•
AB
=
AD
•
AB
-
AP
•
AB
=0，
∴
AD
•
AB
=
AP
•
AB
=(
2
3
AB
+
1
4
AC
)•
AB
=
2
3
AB
2+
1
4
AC
•
AB
，
∴|
AD
|•|
AB
|=
2
3
|
AB
|2+
1
4
|
AC
| |
AB
|cosA，
得到|
AD
|=
2
3
|
AB
|+
1
4
|
AC
|cosA．
∴|
PD
|2=
AP
2-|
AD
|2=(
2
3
AB
+
1
4
AC
)2-(
2
3
|
AB
|+
1
4
|
AC
|cosA)2
=
1
16
AC
2-
1
16
|
AC
|2cos2A=
1
16
|
AC
|2sin2A，
∴|
PD
|=
1
4
|
AC
|sinA．
同理可得|
QE
|=
1
3
|
AC
|sinA．
∴
S△APB
S△AQB
=
|
PD
|
|
QE
|
=
1
4
|
AC
|sinA
1
3
|
AC
|sinA
=
3
4
．
故答案为
3
4
．
点评：熟练掌握向量垂直与数量积的关系、勾股定理和三角形的面积计算公式等是解题的关键．
练习册系列答案
相关题目
精英家教网如图，设P、Q为△ABC内的两点，且
AP
=
2
5
AB
+
1
5
AC
，
AQ
=
2
3
AB
+
1
4
AC
，则△ABP的面积与△ABQ的面积之比为（　　）
A、
1
5
B、
4
5
C、
1
4
D、
1
3
如图，设P，Q为△ABC内的两点，且
AP
=
1
4
AB
+
1
3
AC
，
AQ
=
1
5
AB
+
3
4
AC
，则△ABP的面积与△ABQ的面积之比为（　　）

.如图，设P、Q为△ABC内的两点，且， ＝＋，则△ABP的面积与△ABQ的面积之比为(    )

   A．       B．      C．        D． 

如图，设P、Q为△ABC内的两点，且

， ＝＋，则△ABP的面积与△ABQ的面积之比为(    )

A．       B．      C．        D． 

如图，设P、Q为△ABC内的两点，且，，则△ABP的面积与△ABQ的面积之比为（    ）

A．                                                        B．                       

C．                                                        D．

 

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