Question

设数列{a_n}的各项都为正数，其前n项和为S_n，已知对任意n∈N^*，2

Sn

是

a

n

+2和a_n的等比中项．
（1）证明：数列{a_n}为等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）证明：

1

2

≤

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

＜1；
（3）设集合M={m|m=2k，k∈Z，且1000≤k＜1500，若存在m∈M，使对满足n＞m的一切正整数n，不等式2S_n-4200＞

a 2 n

2

恒成立，试问：这样的正整数m共有多少个？

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,等比数列的性质

专题：点列、递归数列与数学归纳法,不等式的解法及应用

分析：（1）由已知条件得到数列递推式，取n=1求得首项，取n≥2得另一递推式，作差后得到数列{a_n}为等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）把

1

Sn

裂项，利用裂项相消法求和后放缩得答案；
（3）由2Sn-4200＞

a 2 n

2

列式求得n的范围，结合M={2000，2002，…，2008，2010，2012，…，2998}得到满足条件的m值，由等差数列的求和公式得答案．

解答： （1）证明：由已知，4Sn=

a

2 n

+2an，且a_n＞0．
当n=1时，4a1=

a

2 1

+2a1，解得a₁=2．
当n≥2时，有4Sn-1=

a

2 n-1

+2an-1．
于是4Sn-4Sn-1=

a

2 n

-

a

2 n-1

+2an-2an-1，即4an=

a

2 n

-

a

2 n-1

+2an-2an-1．
于是

a

2 n

-

a

2 n-1

=2an+2an-1，即（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1）=2（a_n+a_n-1）．
∵a_n+a_n-1＞0，
∴a_n-a_n-1=2（n≥2）．
故数列{a_n}是首项为2，公差为2的等差数列，且a_n=2n；
（2）证明：∵a_n=2n，则

1

Sn

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)=1-

1

n+1

＜1．
∵1-

1

n+1

随着n的增大而增大，
∴当n=1时取最小值

1

2

．
故原不等式成立；
（3）解：由2Sn-4200＞

a 2 n

2

，得2n（n+1）-4200＞2n²，
∴n＞2100．
由题设，M={2000，2002，…，2008，2010，2012，…，2998}．
∵n＞2100，
∴m=2100，2102，…，2998均满足条件，且这些数组成首项为2100，公差为2的等差数列．
设这个等差数列共有k项，则2100+2（k-1）=2998，解得k=450．
故集合M中满足条件的正整数m共有450个．

点评：本题考查了数列与不等式的综合，考查了等差关系的确定，训练了裂项相消法求数列的和，是压轴题．