Question

已知函数f（x）=x+

1

x

（1）用函数单调性的定义证明f（x）在区间[1，+∞）上为增函数
（2）解不等式f（x²-2x+2）＞f（5）

Answer 1

考点：函数单调性的性质,函数的单调性及单调区间

专题：函数的性质及应用

分析：（1）任取区间[1，+∞）上两个实数a，b，且a＜b，判断f（a）-f（b）的符号，进而得到f（a），f（b）的大小，根据单调性的定义即可得到答案．
（2）由（1）中结论及x²-2x+2≥1，可将不等式f（x²-2x+2）＞f（5）化为：x²-2x+2＞5，解得不等式的解集．

解答： 解：（1）证明：任取区间[1，+∞）上两个实数a，b，且a＜b
则a-b＜0，ab＞1，ab-1＞0
则f（a）-f（b）=（a+

1

a

）-（b+

1

b

）
=a-b+

1

a

-

1

b

=a-b+

b-a

ab

=（a-b）（1-

1

ab

）=

(a-b)(ab-1)

ab

＜0
即f（a）＜f（b）
故函数f（x）=x+

1

x

在区间[1，+∞）上是增函数略          （6分）
（2）x²-2x+2≥1，所以不等式f（x²-2x+2）＞f（5）可化为：
x²-2x+2＞5
解得：x∈（-∞，-1）∪（3，+∞）（12分）

点评：本题考查的知识点是函数的单调性的判断与证明，利用定义法（作差法）证明单调性的步骤是：设元→作差→分解→断号→结论．