Question

【题目】在直角坐标系中，已知椭圆经过点，且其左右焦点的坐标分别是，.

（1）求椭圆的离心率及标准方程；

（2）设为动点，其中，直线经过点且与椭圆相交于，两点，若为的中点，是否存在定点，使恒成立？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由

Answer 1

【答案】（1），；（2）在定点

【解析】

（1）根据椭圆的焦点得到，根据椭圆过点，由椭圆的定义得到，再求出，从而得到椭圆的离心率和标准方程；

（2）设，，则，，利用点差法，得到，从而表示出线段的垂直平分线，再根据直线过定点，得到关于的方程组，得到定点的坐标.

（1）设椭圆方程：.

∴.

∵椭圆经过点，

∴，

∴，可得.

椭圆的离心率为，椭圆标准方程：.

（2）设，，

因为为中点，

则，.

∵、在曲线上，∴，

将以上两式相减得：.

所以得到，

∴线段的垂直平分线方程：，

整理得

令，得

故线段的垂直平分线过定点.

所以存在定点，使恒成立.