Question

【题目】如图，已知抛物线的焦点为，椭圆的中心在原点，为其右焦点，点为曲线和在第一象限的交点，且．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设为抛物线上的两个动点，且使得线段的中点在直线上，

为定点，求面积的最大值．

Answer 1

【答案】（1）椭圆的标准方程为； （2）面积的最大值为．

【解析】

试题分析：（1）由已知得，跟据抛物线定义，得，所以点；据椭圆定义，得．

所以椭圆的标准方式是．（2）因为为线段的中点，得直线的方程为；联立，得，由弦长公式和点到直线的距离，得．

再根据函数的单调性得面积的最大值为．

试题解析：（1）设椭圆的方程为，半焦距为．

由已知，点，则．

设点，据抛物线定义，得．由已知，，则．

从而，所以点．

设点为椭圆的左焦点，则，．

据椭圆定义，得，则．

从而，所以椭圆的标准方式是．

（2）设点，，，则．

两式相减，得，即．因为为线段的中点，则．

所以直线的斜率．

从而直线的方程为，即．

联立，得，则．

所以．

设点到直线的距离为，则．

所以．

由，得．令，则．

设，则．

由，得．从而在上是增函数，在上是减函数，

所以，故面积的最大值为．