题目内容
已知函数f（x）=xk+b（常数k，b∈R）的图象过点（4，2）、（16，4）两点．（1）求f（x）的解析式；
（2）若函数g（x）的图象与函数f（x）的图象关于直线y=x对称，若不等式g（x）+g（x-2）＞2ax+2恒成立，求实数a的取值范围；
（3）若P1，P2，P3，…，Pn，…是函数f（x）图象上的点列，Q1，Q2，Q3，…，Qn，…是x正半轴上的点列，O为坐标原点，△OQ1P1，△Q1Q2P2，…，△Qn-1QnPn，…是一系列正三角形，记它们的边长是a1，a2，a3，…，an，…，探求数列an的通项公式，并说明理由．
【答案】分析：（1）将（4，2）、（16，4）两点坐标代入函数f（x）=xk+b中，即可求出k、b的值，进而求得函数f（x）的解析式；
（2）根据前面求得的f（x）的解析式和题中已知条件可知函数g（x）的解析式，令g（x）+g（x-2）＜2ax+2，便可求出a的取值范围；
（3）根据前面求得的函数结合题中已知条件便可求出an与an+1的关系，便可求得数列an的通项公式．
解答：解：（1）
（2）g（x）=x2（x≥0）
g（x）+g（x-2）＞2ax+2
原问题等价于
在x∈[2，+∞）恒成立，
利用函数
在区间[2，+∞）上为增函数，
可得
；
（3）由
，
由
，
将x代入
，
∴
且
，
又
，
两式相减可得：
⇒
，
又，因为an＞0，所以
，
从而an是以
为首项，
为公差的等差数列，即
．
点评：本题主要考查了函数解析式的求法以及数列与函数的综合，考查了学生的计算能力和对数列的综合掌握，解题时注意整体思想和转化思想的运用，属于中档题．
（2）根据前面求得的f（x）的解析式和题中已知条件可知函数g（x）的解析式，令g（x）+g（x-2）＜2ax+2，便可求出a的取值范围；
（3）根据前面求得的函数结合题中已知条件便可求出an与an+1的关系，便可求得数列an的通项公式．
解答：解：（1）
（2）g（x）=x2（x≥0）
g（x）+g（x-2）＞2ax+2
原问题等价于
在x∈[2，+∞）恒成立，利用函数
在区间[2，+∞）上为增函数，可得
；（3）由
，由
，将x代入
，∴
且
，又
，两式相减可得：
⇒
，又，因为an＞0，所以
，从而an是以
为首项，
为公差的等差数列，即
．点评：本题主要考查了函数解析式的求法以及数列与函数的综合，考查了学生的计算能力和对数列的综合掌握，解题时注意整体思想和转化思想的运用，属于中档题．
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已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜| π |
| 2 |
A、f(x)=2sin(πx+
| ||
B、f(x)=2sin(2πx+
| ||
C、f(x)=2sin(πx+
| ||
D、f(x)=2sin(2πx+
|