Question

7．已知椭圆C中心在坐标原点、对称轴为y轴，且过点M（4，2），N（$\sqrt{6}$，3）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C上的任一点R（x₀，y₀），从原点O向圆R：（x-x₀）²+（y-y₀）²=8作两条切线，分别交椭圆于P，Q，试探究OP²+OQ²是否为定值，若是，求出其值；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设椭圆方程为mx²+ny²=1，（m＞0，n＞0．m≠n），利用待定系数法能求出椭圆C的方程．
（2）当直线不落在坐标轴上时，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），推导出${{x}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}$=$\frac{24（1+{{k}_{1}}^{2}）}{1+2{k}_{1}}$，${{x}_{2}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}=\frac{24（1+{{k}_{2}}^{2}）}{1+2{{k}_{2}}^{2}}$，由${k}_{1}{k}_{2}=-\frac{1}{2}$，求出OP²+OQ²是定值36．当直线落在坐标轴上时，由题意得OP²+OQ²=36．

解答 解：（1）∵椭圆C中心在坐标原点、对称轴为y轴，且过点M（4，2），N（$\sqrt{6}$，3），
∴设椭圆方程为mx²+ny²=1，（m＞0，n＞0．m≠n），
把M（4，2），N（$\sqrt{6}$，3）代入，得：
$\left\{\begin{array}{l}{16m+4n=1}\\{6m+9n=1}\end{array}\right.$，解得m=$\frac{1}{24}$，n=$\frac{1}{12}$，
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{24}+\frac{{y}^{2}}{12}$=1．
（2）OP²+OQ²是定值，定值为36，理由如下：
（i）当直线ξ不落在坐标轴上时，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y={k}_{1}x}\\{\frac{{x}^{2}}{24}+\frac{{y}^{2}}{12}=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{{x}_{1}}^{2}=\frac{24}{1+2{{k}_{1}}^{2}}}\\{{{y}_{1}}^{2}=\frac{24{{k}_{1}}^{2}}{1+2{{k}_{1}}^{2}}}\end{array}\right.$，
∴${{x}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}$=$\frac{24（1+{{k}_{1}}^{2}）}{1+2{k}_{1}}$，
同理，得${{x}_{2}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}=\frac{24（1+{{k}_{2}}^{2}）}{1+2{{k}_{2}}^{2}}$，
∵${k}_{1}{k}_{2}=-\frac{1}{2}$，
∴OP²+OQ²=${{x}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}$=$\frac{24（1+{{k}_{2}}^{2}）}{1+2{{k}_{1}}^{2}}$+$\frac{24（1-\frac{1}{2{k}_{1}}）^{2}}{1+2（-\frac{1}{2{k}_{1}}）^{2}}$=$\frac{36+72{{k}_{1}}^{2}}{1+2{{k}_{1}}^{2}}$=36．
∴OP²+OQ²是定值36．
（ii）当直线落在坐标轴上时，由题意得OP²+OQ²=36．
综上，OP²+OQ²是定值，定值为36．

点评 本题考查直线与椭圆的综合应用，直线与圆相切关系的应用，考查分析问题解决问题的能力．转化思想的应用．