Question

已知函数。
（Ⅰ）若,求函数的单调区间并比较与的大小关系
（Ⅱ）若函数的图象在点处的切线的倾斜角为，对于任意的，函数在区间上总不是单调函数，求的取值范围；
（Ⅲ）求证：。

Answer 1

（I）的单调增区间为；减区间为,.
（II）.
（III）证明见解析.

试题分析：（I）通过求导数，解得增区间；解得减区间.
驻点处得到最小值，比较得到.
（II）通过确定，.
根据在区间上总不是单调函数，且，
得到，转化成“对于任意的恒成立”
依据，求得的范围.
解答本题的关键是将问题加以转化，应用导数知识予以处理.
（III）利用时，，得到对一切成立.
从而应用对乘积式中的各个因子进行“放缩”，达到证明目的.
∴=.
试题解析：（I）当时.
令，解得；令，解得，
所以，的单调增区间为；减区间为
所以，所以.
（II）∵
∴，得
∴，.
∵在区间上总不是单调函数，且，
∴
由题意知：对于任意的恒成立，
所以有，∴
（III）证明如下：由（1）可知
当时，，即，
∴对一切成立，
∵，则有，∴，
∴=.
故.