Question

在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x²上异于坐标原点O的两不同动点A、B满足AO⊥BO(如图所示)．

(1)求△AOB的重心G(即三角形三条中线的交点)的轨迹方程；

(2)△AOB的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)设△AOB的重心为G(x，y)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则　　① 　　∵OA⊥OB， 　　∴kOA·kOB＝－1，即x1x2＋y1y2＝－1　　② 　　又点A、B在抛物线上，有y1＝x12，y2＝x22，代入②化简得x1x2＝－1． 　　∴y＝＝(x12＋x22)＝［(x1＋x2)2－2x1x2］＝×(3x)2＋＝3x2＋． 　　∴重心为G的轨迹方程为y＝3x2＋． 　　(2)S△AOB＝OA·OB 　　＝ 　　＝， 　　由(1)得S△AOB＝≥＝×2＝1， 　　当且仅当x16＝x26即x1＝－x2＝－1时，等号成立． 　　∴△AOB的面积存在最小值，存在时求最小值1． 　　思路解析：本题首先假设相关的点的坐标，然后利用已知条件列出相关的方程，注意观察各方程间的关系，进行消元而达到目的．