Question

19．（Ⅰ）已知sinθ，cosθ是方程4x²-4mx+2m-1=0的两个根，$\frac{3π}{2}$＜θ＜2π，求角θ．
（Ⅱ）已知一扇形的中心角为α，所在圆的半径为R，若α=60°，R=10cm，求扇形的弧与弦所围成的弓形的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）以一元二次方程为载体，通过根与系数的关系，得到正弦和余弦之间的关系，又由正弦和余弦本身有平方和为1的关系，代入求解，注意角是第四象限角，根据角的位置，得到结果．
（Ⅱ）直接求出扇形的面积，求出三角形的面积，然后求出扇形的弧所在的弓形面积；

解答 解：（Ⅰ）∵sinθ+cosθ=m，sinθcosθ=$\frac{2m-1}{4}$，
且m²-2m+1≥0
代入（sinθ+cosθ）²=1+2sinθ•cosθ，
得m=$\frac{1±\sqrt{3}}{2}$，又$\frac{3π}{2}$＜θ＜2π，
∴sinθ•cosθ=$\frac{2m-1}{4}$＜0，sinθ+cosθ=m=$\frac{1-\sqrt{3}}{2}$，
∴sinθ=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，cosθ=$\frac{1}{2}$，又∵$\frac{3π}{2}$＜θ＜2π，
∴θ=$\frac{5π}{3}$．…（6分）
（Ⅱ）设弧长为l，弓形面积为S_弓，
∵α=60°=$\frac{π}{3}$，R=10，∴l=$\frac{10}{3}$π（cm），
S_弓=S_扇-S_△=$\frac{1}{2}$×$\frac{10}{3}$π×10-$\frac{1}{2}$×10²×sin60°
=50（$\frac{π}{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）（cm²）．  …（12分）

点评 本题考查扇形的面积公式的应用，考查计算能力，是一道难度稍大的题，首先是需要自己根据条件写出关于正弦和余弦的关系式，然后根据正弦和余弦本身具有的关系和角的位置求出结果．属于中档题．