Question

6．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{5}，x∈[-1，1]}\\{x，x∈[1，π）}\\{sinx，x∈[π，3π]}\end{array}\right.$求f（x）在区间[-1，3π]上的定积分．

Answer 1

分析 根据求分段函数求定积分，利用奇函数的性质，求得${∫}_{-1}^{3π}$f（x）dx的值．

解答 解：由定积分的几何意义知：
∵f（x）=x⁵是奇函数，故${∫}_{-1}^{1}$x⁵dx=0；
${∫}_{π}^{3π}$sinxdx=-cosx|${\;}_{π}^{3π}$=-（cos3π-cosπ）=0，（如图（1）所示）；
${∫}_{1}^{π}$xdx=$\frac{1}{2}$x²|${\;}_{1}^{π}$=$\frac{1}{2}$（1+π）（π-1）=$\frac{1}{2}$（π²-1）（如图（2）所示）．
∴${∫}_{-1}^{3π}$f（x）dx=${∫}_{-1}^{1}$x⁵dx+${∫}_{1}^{π}$xdx+${∫}_{π}^{3π}$sinxdx=0+$\frac{1}{2}$（π²-1）+0=$\frac{1}{2}$（π²-1）．

点评 本题考查求分段函数的定积分及定积分的性质，属于基础题．