Question

已知⊙O′过定点A（0，p）（p＞0），圆心O'在抛物线C：x²=2py上运动，MN为圆O′在x轴上所截得的弦．
（1）当O′点运动时，|MN|是否有变化？并证明你的结论；
（2）当|OA|是|OM|与|ON|的等差中项且M，N在原点O的右侧时，试判断抛物线C的准线与圆O′是相交、相切还是相离，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）先设出圆的方程，求出M，N两点的坐标表示出|MN|即可发现|MN|的取值是否变化．
（2）设M，N的中点为B，则|OM|+|ON|=2|OB|且O′B⊥MN，由|OA|=|OM|+|ON|，得|O′A|=

5

2

p．由此能够导出⊙Q与抛物线的准线总相交．

解答：解：（1）设O′（x₀，y₀），则x₀²=2py₀（y₀≥0），则⊙O′的半径|O′A|=

x 2 0 +(y0-p)2

（2分）
⊙O′的方程为（x-x₀）²+（y-y₀）²=x₀²+（y₀-p）²
令y=0，并把x₀²=2py₀代入得x²-2x₀x+x₀²-p²=0，（3分）解得x₁=x₀-p，x₂=x₀+p，
∴|MN|=|x₁-x₂|=2p，（5分），∴|MN|不变化，为定值2p．                                              （6分）
（2）设M，N的中点为B，则|OM|+|ON|=2|OB|且O′B⊥MN（8分）
又∵|OA|是|OM|与|ON|的等差中项，∴|OM|+|ON|=2|OA|，（9分）
可得B(p，0)，O′(p，

p

2

)
∴|O′A|=

p2+( p 2 -p)2

=

5

2

p（11分）
又∵点O′到抛物线C的准线的距离为

p

2

-(-

p

2

)=p＜

5

2

p，∴圆O′与抛物线C的准线相交．       （13分）

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与圆锥曲线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．