Question

已知⊙O′过定点A(0，p)(p＞0)，圆心O′在抛物线C:x²=2py上运动，MN为圆O′在x轴上所截得的弦．

(Ⅰ)当O′点运动时，|MN|是否有变化?并证明你的结论；

(Ⅱ)当|OA|是|OM|与|ON|的等差中项且M、N在原点O的右侧时，试判断抛物线C的准线与圆O′是相交、相切还是相离，并说明理由．

Answer 1

解：(Ⅰ)设O′(x₀，y₀)，则=2py₀(y₀≥0)

则⊙O′的半径|O′A|=

⊙O′的方程为(x- x₀)²+(y-y₀)²=+( y₀-p)²

令y=0，并把=2py₀代入得

x²-2x₀x+-p²=0，

解得x₁=x₀-p，x₂=x₀+p，

∴|MN|-|x₁-x₂|=2p,

∴|MN|不变化，为定值2p．

(Ⅱ)设M、N的中点为B，

则|OM|+|ON|=2|OB|且O′B⊥MN

又∵|OA|是|OM|与|ON|的等差中项，

∴|OM|+|ON|=2|OA|，

可得B(p，0)，O′(p,)

∴|O′A|=p

又∵点O′到抛物线C的准线的距离为

-(-)=p＜p，

∴圆O′与抛物线C的准线相交．