Question

19．已知数列{a_n}的前n项和S_n满足：S_n=$\frac{{a}_{n}}{2}$+$\frac{1}{{a}_{n}}$-1且a_n＞0，n∈N₊．
（1）求a₁，a₂，a₃；
（2）猜想{a_n}的通项公式，并用数学归纳法证明．

Answer 1

分析 （1）由数列{a_n}的递推公式依次求出a₁，a₂，a₃；
（2）根据a₁，a₂，a₃值的结构特点猜想{a_n}的通项公式，再用数学归纳法①验证n=1成立，②假设n=k时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立．

解答 解：（1）∵a₁=S₁=$\frac{{a}_{1}}{2}$+$\frac{1}{{a}_{1}}$-1，
∴a₁=-1±$\sqrt{3}$．
又∵a_n＞0，
∴a₁=$\sqrt{3}$-1．
S₂=a₁+a₂=$\frac{{a}_{2}}{2}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$-1，
∴a₂=$\sqrt{5}$-$\sqrt{3}$．
S₃=a₁+a₂+a₃=$\frac{{a}_{3}}{2}$+$\frac{1}{{a}_{3}}$-1，
∴a₃=$\sqrt{7}$-$\sqrt{5}$．
（2）由（1）猜想an=$\sqrt{2n+1}$-$\sqrt{2n-1}$，n∈N+．
下面用数学归纳法加以证明：
①当n=1时，由（1）知a₁=$\sqrt{3}$-1成立．
②假设n=k（k∈N+）时，a_k=$\sqrt{2k+1}$-$\sqrt{2k-1}$成立．
当n=k+1时，a_k+1=S_k+1-S_k=（$\frac{{a}_{k+1}}{2}$+$\frac{1}{{a}_{k+1}}$-1）-（$\frac{{a}_{k}}{2}$+$\frac{1}{{a}_{k}}$-1）=$\frac{{a}_{k+1}}{2}$+$\frac{1}{{a}_{k+1}}$-$\sqrt{2k+1}$，
∴a_k+1²+2$\sqrt{2k+1}$a_k+1-2=0
∴a_k+1=$\sqrt{2（k+1）+1}$-$\sqrt{2（k+1）-1}$，
即当n=k+1时猜想也成立．
综上可知，猜想对一切n∈N+都成立．

点评 本题是中档题，考查数列递推关系式的应用，数学归纳法证明数列问题的方法，考查逻辑推理能力，计算能力．注意在证明n=k+1时用上假设，化为n=k的形式．