题目内容

8．有一批货物需要用汽车从生产商所在城市甲运至销售商所在城市乙，已知从城市甲到城市乙只有两条公路，且通过这两条公路所用的时间互不影响．据调查统计，通过这两条公路从城市甲到城市乙的200辆汽车所用时间的频数分布如表：
所用的时间（天数）10111213
通过公路l的频数20402020
通过公路2的频数10404010
假设汽车A只能在约定日期（某月某日）的前11天出发，汽车B只能在约定日期的前12天出发（将频率视为概率）．
（I）为了尽最大可能在各自允许的时间内将货物运往城市乙，估计汽车A和汽车B应如何选择各自的路径；
（Ⅱ）若通过公路l、公路2的“一次性费用”分别为3.2万元、1.6万元（其他费用忽略不计），此项费用由生产商承担．如果生产商恰能在约定日期当天将货物送到，则销售商一次性支付给生产商40万元，若在约定日期前送到；每提前一天销售商将多支付给生产商2万元；若在约定日期后送到，每迟到一天，生产商将支付给销售商2万元．如果汽车A，B按（I）中所选路径运输货物，试比较哪辆汽车为生产商获得的毛利润更大．

分析 （I）先求出频率分布表，设A1，A2分别表示汽车A在约定日期前11天出发选择公路1，2将货物运往城市乙，B1，B2分别表示汽车B在约定日期前12天出发选择公路1，2将货物运往城市乙，分别求出相应的概率，能得到汽车A选择公路1．汽车B选择公路2
（Ⅱ）设X表示汽车A选择公路1时，销售商付给生产商的费用，则X的所有可能取值有42，40，38，36，分别求出相应的概率，从而得到汽车A选择公路1的毛利润；设Y表示汽车B选择公路2时，销售商付给生产商的费用，则Y的所有可能取值有44，42，40，38，分别求出相应的概率，从而得到汽车B选择公路2的毛利润，由此能求出汽车B为生产商获得的毛利更大．

解答 解：（I）频率分布表如下：

所有的时间（天数）10111213
通过公路1的频率0.20.40.20.2
通过公路2的频率0.10.40.40.1
设A1，A2分别表示汽车A在约定日期前11天出发选择公路1，2将货物运往城市乙，
B1，B2分别表示汽车B在约定日期前12天出发选择公路1，2将货物运往城市乙，
P（A1）=0.2+0.4=0.6，
P（A2）=0.1+0.4=0.5，
P（B1）=0.2+0.4+0.2=0.6，
P（B2）=0.1+0.4+0.4=0.9，
所以汽车A选择公路1．汽车B选择公路2
（Ⅱ）设X表示汽车A选择公路1时，销售商付给生产商的费用，则X的所有可能取值有42，40，38，36，
P（X=42）=0.2，P（X=40）=0.4，P（X=38）=0.2，P（X=36）=0.2，
则X的分布列如下：
X42403836
P0.20.40.20.2
EX=42×0.2+40×0.4+38×0.2+36×0.2=39.2，
∴汽车A选择公路1的毛利润是39.2-3.2=36（万元）．
设Y表示汽车B选择公路2时，销售商付给生产商的费用，则Y的所有可能取值有44，42，40，38，
P（Y=44）=0.1，P（Y=42）=0.4，P（Y=40）=0.4，P（Y=38）=0.1，
则Y的分布列如下：
Y44424038
P0.10.40.40.1
EY=44×0.1+42×0.4+40×0.4+38×0.1=41，
∴汽车B选择公路2的毛利润是41-1.6=39.4（万元），
∵36.0＜39.4，
汽车B为生产商获得的毛利更大．

点评 本题考查概率的求法及应用，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的性质及应用，是中档题，解题时要认真审题，注意离散型随机变量的性质的合理运用．

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类型A类B类C类
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电压（x）1015202530
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