题目内容
9．甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，假设每局比赛中，甲胜乙的概率为$\frac{1}{2}$，甲胜丙、乙胜丙的概率都为$\frac{2}{3}$，各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判．（1）求第3局甲当裁判的概率；
（2）记前4局中乙当裁判的次数为X，求X的概率分布与数学期望．
分析 （1）第2局中可能是乙当裁判，其概率为$\frac{1}{3}$，也可能是丙当裁判，其概率为$\frac{2}{3}$，由此能求出第3局甲当裁判的概率．
（2）由题意X可能的取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的概率分布与数学期望．
解答 解：（1）第2局中可能是乙当裁判，其概率为$\frac{1}{3}$，
也可能是丙当裁判，其概率为$\frac{2}{3}$，
∴第3局甲当裁判的概率为$\frac{1}{3}×\frac{2}{3}+\frac{2}{3}×\frac{1}{3}$=$\frac{4}{9}$．…（4分）
（2）由题意X可能的取值为0，1，2．…（5分）
P（X=0）=$\frac{2}{3}×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}$=$\frac{2}{9}$，…（6分）
P（X=1）=$\frac{1}{3}×（\frac{1}{3}×\frac{2}{3}+\frac{2}{3}×\frac{1}{2}）+\frac{2}{3}×\frac{1}{2}+\frac{2}{3}×\frac{1}{2}×\frac{1}{3}$=$\frac{17}{27}$，…（7分）
P（X=2）=$\frac{1}{3}×（\frac{2}{3}×\frac{1}{2}+\frac{1}{3}×\frac{1}{3}）$=$\frac{4}{27}$．…（8分）
∴X的概率分布列为：
| X | 0 | 1 | 2 |
| P | $\frac{2}{9}$ | $\frac{17}{27}$ | $\frac{4}{27}$ |
点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用．
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20．环保部门在某社区对年龄在10到55岁的居民随机抽取了2000名进行环保知识测评，测试结果按年龄分组如表：
已知在全部样本中随机抽取1人，抽到年龄在[25，40）间测试成绩优秀的概率是0.32．
（I）现用分层抽样的方法在全部样本中抽取200人，问年龄在[40，55]内共抽取多少人？
（Ⅱ）当社区测试总优秀率不小于90%，可获评爱护环境先进单位奖，已知b≥485，c≥55，问在此前提下该社区获奖的概率．
| 分组 | [10，25） | [25，40） | [40，55] |
| 成绩优秀 | 670 | a | b |
| 成绩一般 | 80 | 60 | c |
（I）现用分层抽样的方法在全部样本中抽取200人，问年龄在[40，55]内共抽取多少人？
（Ⅱ）当社区测试总优秀率不小于90%，可获评爱护环境先进单位奖，已知b≥485，c≥55，问在此前提下该社区获奖的概率．
17．某便携式灯具厂的检验室，要检查该厂生产的某一批次产品在使用时的安全性．检查人员从中随机抽取5件，通过对其加以不同的电压（单位：伏特）测得相应电流（单位：安培），数据见下表：
（1）试估计如对该批次某件产品加以110伏电压，产生的电流是多少？
（2）依据其行业标准，该类产品电阻在[18，22]内为合格品．以上述抽样中得到的频率为合格品概率，再从该批次产品中随机抽取5件，记随机变量X表示其中合格品个数，求随机变量X的分布列、期望和方差．
（附：回归方程：$\hat y=bx+a$，其中：$b=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{x_i}{y_i}）-n\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{{x_i}^2-n{{\overline x}^2}}}}，a=\overline y-b\overline x$
参考数据：$\overline{x}=20$，$\overline{y}$=1.1，$\sum_{i=1}^5{{x_i}{y_i}}$=121，$\sum_{i=1}^5{x_i^2}$=2250）
| 产品编号 | ① | ② | ③ | ④ | ⑤ |
| 电压（x） | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 |
| 电流（y） | 0.6 | 0.8 | 1.4 | 1.2 | 1.5 |
（2）依据其行业标准，该类产品电阻在[18，22]内为合格品．以上述抽样中得到的频率为合格品概率，再从该批次产品中随机抽取5件，记随机变量X表示其中合格品个数，求随机变量X的分布列、期望和方差．
（附：回归方程：$\hat y=bx+a$，其中：$b=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{x_i}{y_i}）-n\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{{x_i}^2-n{{\overline x}^2}}}}，a=\overline y-b\overline x$
参考数据：$\overline{x}=20$，$\overline{y}$=1.1，$\sum_{i=1}^5{{x_i}{y_i}}$=121，$\sum_{i=1}^5{x_i^2}$=2250）
已知椭圆C1：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）左右两个焦点分别为F1，F2，R（1，$\frac{3}{2}$）为椭圆C1上一点，过F2且与x轴垂直的直线与椭圆C1相交所得弦长为3．抛物线C2的顶点是椭圆C1的中心，焦点与椭圆C1的右焦点重合．