Question

(1)已知直线l：y=x+b与曲线C：y=有两个不同的公共点,求实数b的取值范围；

(2)若关于x的不等式＞x+b解集为R,求实数b的取值范围.

Answer 1

解:(1)如图3(数形结合),方程y=x+b表示斜率为1,在y轴上截距为b的直线l；

图3

方程y=表示单位圆在x轴上及其上方的半圆,

当直线过B点时,它与半圆交于两点,此时b=1,直线记为l₁；

当直线与半圆相切时,b=,直线记为l₂.

直线l要与半圆有两个不同的公共点,必须满足l在l₁与l₂之间(包括l₁但不包括l₂),

所以1≤b＜,即所求的b的取值范围是［1,).

(2)不等式＞x+b恒成立,即半圆y=在直线y=x+b上方,

当直线l过点(1,0)时,b=-1,所以所求的b的取值范围是(-∞,-1).

点评:利用数形结合解题,有时非常方便直观.