Question

已知直线l：y=kx+b交抛物线C：y=

1

2

x2于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，交y轴于点F，若x₂＞0，且x₁x₂=-1，记

AP

=t

PB

．
（1）求证：直线l过抛物线的焦点；
（2）当t=

3

2

时，求以原点为中心，以P为一个焦点，且过点B的椭圆方程．

Answer 1

分析：（1）先将直线的方程代入抛物线的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系即可求得bP值，从而解决问题．
（2）由

AP

=t

PB

，得x₁=-tx₂，所以求出B(

6

3

，

1

3

)．再设椭圆方程为

y2

a2

+

x2

b2

=1，利用题中条件列出关于a，b的方程，求出a，b，最后写出椭圆方程即可．

解答：解：（1）由

y=kx+b y= 1 2 x2

?x2-2kx-2b=0，则x₁x₂=-2b∵x₁x₂=-1，b=

1

2

，即直线l与y轴交于点P(0，

1

2

)，
而抛物线y=

1

2

x2的焦点坐标是(0，

1

2

)，所以直线过抛物线的焦点．
（2）∵

AP

=(-x1，

1

2

-y1)，

PB

=(x2，y2-

1

2

)（3），
由

AP

=t

PB

，得x₁=-tx₂

x1=- 3 2 x2 x1x2=-1 x2＞0

?x22=

2

3

，y2=

1

3

，所以B(

6

3

，

1

3

)．
设椭圆方程为

y2

a2

+

x2

b2

=1，c=

1

2

，且过B(

6

3

，

1

3

)
得

1 9a2 + 2 3b2 =1 a2-b2= 1 4

?a2=1，b2=

3

4

，所以椭圆方程为y2+

4x2

3

=1

点评：本小题主要考查椭圆的标准方程、向量的坐标表示、直线与圆锥曲线的综合问题等基础知识，考查运算求解能力，考查主程思想、化归与转化思想．属于基础题．