Question

16．过圆O外一点P，作圆的切线PA、PB，A、B为切点，M为弦AB上一点，过M作直线分别交PA、PB于点C、D．
（Ⅰ）若BD=2，AC=3，MC=4，求线段MD的长；
（Ⅱ）若MO⊥CD，求证：MD=MC．

Answer 1

分析 （Ⅰ）过点C作CE∥PD交AB于点E，运用两直线平行的性质定理和相似三角形的判定和性质，结合圆的切线的性质：切线长相等，即可求得MD；
（Ⅱ）连接OA、OB、OC、OD，运用切线的性质，证得四点A、C、M、O共圆，四点B、D、O、M共圆，可得同弧所对的圆周角相等，再由等腰三角形的三线合一，即可得证．

解答 解：（Ⅰ）如图1，
过点C作CE∥PD交AB于点E，
则∠PBA=∠CEA，
且△MCE∽△MDB，
所以$\frac{MC}{MD}=\frac{EC}{BD}$．
因为PA、PB是圆的切线，
所以∠PAB=∠PBA，
所以∠PAB=∠CEA，
从而$AC=EC，\frac{MC}{MD}=\frac{AC}{BD}$，
得$MD=\frac{MC}{AC}•BD$=$\frac{4×2}{3}$=$\frac{8}{3}$；
证明：（Ⅱ）如图2，连接OA、OB、OC、OD，
则OA⊥PA，OB⊥PB．
因为MO⊥CD，所以∠OMD=∠OBD=∠OMC=∠OAC=90°，
故四点A、C、M、O共圆，四点B、D、O、M共圆，
所以∠OCM=∠OAM，∠ODM=∠OBM．
又OA=OB，
所以∠OAM=∠OBM，
故∠OCM=∠ODM，OC=OD．
从而MD=MC．

点评 本题考查相似三角形的判定和性质定理的运用，考查四点共圆的判定和圆的切线的性质及同弧所对圆周角相等，考查推理能力，属于中档题．