题目内容
【题目】已知抛物线
的焦点为F，直线l过点
．
（1）若点F到直线l的距离为
，求直线l的斜率；
（2）设A，B为抛物线上两点，且AB不与x轴垂直，若线段AB的垂直平分线恰过点M，求证：线段AB中点的横坐标为定值
【答案】（1）
（2）证明见详解.
【解析】
（1）设出直线方程，根据点到直线的距离公式，即可求得直线；
（2）设出直线方程，联立抛物线方程，根据韦达定理，利用直线垂直，从而得到的斜率关系，即可证明.
（1）由条件知直线l的斜率存在，设为
，
则直线l的方程为：
，
即
．
从而焦点
到直线l的距离为
，
平方化简得：
，
．
故直线斜率为：.
（2）证明：设直线AB的方程为
，
联立抛物线方程
，消元得：
．
设
，
，
线段AB的中点为
，
故
因为
，
．
将M点坐标代入后整理得：
即可得：
故
为定值．即证.
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